1) Não é um absurdo o escritor de Eclesiastes afirmar, pelo que diz, ser  Salomão já que Salomão  viveu séculos antes da escrita de Eclesiastes? (Eclesiastes 1:1,12,16)

Não, não é um absurdo. As alegações de que o livro teria sido escrito séculos mais tarde por Jesus Ben Sirac se baseiam no fato de que o livro apócrifo de Eclesiástico foi escrito por ele. Alguns, por conta disso afirmam que ele escreveu não apenas os livros apócrifos de Sabedoria e Eclesiástico, mas também o livro canônico de Eclesiastes. No entanto,  não se apresenta  provas de que o livro de Eclesiastes foi escrito séculos depois da época em que Salomão viveu, apenas afirma-se que isso aconteceu.

Uma pesquisa na internet mostra que existem defensores dos dois lados da questão. Os que afirmam que o escritor foi Salomão e os que afirmam que não foi. 

O que a Bíblia diz sobre o assunto? O escritor de Eclesiastes afirma ser filho de Davi e ter reinado sobre Israel em Jerusalém e o único com estas credenciais foi Salomão. (Compare Eclesiastes 1:12 com 1 Reis 11:31,42) Portanto, a Bíblia afirma que o escritor foi o rei Salomão. Não existem provas que nos levem a concluir que essa informação é absurda.

2) O fato de Salomão afirmar que o sol se levanta e se põe (Eclesiastes 1:5) indica que ele acreditava que o sol girava em torno da terra?

Não, nada indica isso. Embora seja verdade que desde que Ptolomeu defendeu o sistema geocêntrico muitos tenham acreditado nisso, mesmo os cristãos católicos, isso não significa que Salomão e outros escritores da Bíblia defendenssem o sistema geocêntrico.

O mais provável é que ele tenha usado o termo assim como  o usamos hoje, apesar de sabermos que é a Terra que gira em torno do Sol. O link

https://www.iag.usp.br/astronomia/nascer-e-ocaso-do-sol

mostra que o uso destas expressões é comum até hoje.